Эффективная плотность состояний в зоне проводимости: 5.4. Плотность состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

5.4. Плотность состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

При анализе работы различных приборов одной из важнейших характеристик является число электронов dnв некотором интервале энергий, например в интервалеdE. Для того, чтобы определить это число, необходимо знать число энергетических состояний в этом интервале энергийdZи вероятность заполнения этих состояний электронами, или функцию распределения электронов по энергиям.

(5.13)

Число состояний можно получить через плотность энергетических состояний N(E), которую определим как число состояний в единичном интервале энергий в единице объёма полупроводника

(5.14).

С учётом (5.14) выражение (5.13) запишется как

(5.15).

Множитель 2 в (5.15) отражает принцип Паули, в соответствии с которым в каждом квантовом состоянии может находиться 2 электрона с противоположно направленными спинами.

Величина определяется формой изоэнергетических поверхностей в пространстве квазиимпульсов. Положим, пусть изоэнергетические поверхности будут сферы – помним, что это соответствует ситуации сферически симметричного обратного пространства, поскольку. Тогда интервалу значенийdEв пространстве квазиимпульсов будет соответствовать объём шарового слоя между изоэнергетическими поверхностями с радиусамириp+dp. Этот объём будет равен4p²dp. Этому объёму пусть соответствует реальный объёмV. Тогда объём в фазовом пространствеdГ, соответствующий интервалу значений энергииdEбудет

dГ =V4p²dp(5.16).

В этом объёме будет dZ квантових состояний, которое определяется как

(5.17),

а на единицу объёма таких состояний будет

(5.18).

Начало отсчёта энергии совместим с минимумом энергии в зоне проводимости. Тогда, в соответствии с (4.15)

(5.19).

Подставляем выражения (5.19) в (5.18) и получим

(5.20),

откуда следует, что

(5.21)

Аналогичное выражение может быть получено для плотности состояний вблизи потолка валентной зоны.

Лекция 6.

Мы определили плотность состояний как число состояний в единичном интервале энергий в единице объёма. Тогда концентрация электронов будет определяться как

(6.1)

Здесь пределами интегрирования являются минимальная и максимальная энергии электронов в первой зоне Бриллюэна зоны проводимости. Если начало отсчёта энергии совместить с минимумом энергии в зоне проводимости, то нижний предел в интеграле (6.1) будет равным нулю, а верхний предел можно положить равным бесконечности, поскольку электроны занимают состояния вблизи дна зоны проводимости и функция распределения, как мы увидим ниже, резко спадает с увеличением энергии.

В таком случае, вместо (6.1) получим

(6.2).

Как мы помним из общего курса физики, электроны являются фермионами¹², и для них необходимо использовать функцию распределения Ферми-Дирака

(6.3)

ЗдесьkT– тепловая энергия,F– энергия Ферми. На рис. 6.1 показана зависимостьf(E)при разных температурах. Из этого рисунка видно, что энергию (уровень) Ферми можно определить двояко. Во-первых, это есть максимальная энергия электронов при0 Ки, во-вторых – это есть уровень, вероятность заполнения которого при всех температурах равна ½. Из (6.3) видно, что функция распределения Ферми-Дирака, а следовательно, и концентрация электронов в зоне проводимости, зависят от температуры и энергии.

Для полупроводников различают два крайних случая. 1. Если уровень Ферми находится в запрещённой зоне, так что , то в этом случае показатель степени в (6.3) больше 1 и функция распределения Ферми-Дирака переходит в классическую функцию Максвелла-Больцмана

(6. 4).

Полупроводник при этом называется невырожденными концентрация электронов (6.2) с функцией распределения (6.3) при этом определяется выражением

(6.5).

Здесь – так называемая эффективная плотность состояний для зоны проводимости.

В противоположном случае, когда уровень Ферми находится в зоне проводимости, причём , полупроводник называется вырожденным и для нахождения концентрации необходимо использовать функцию Ферми-Дирака (6.3). При этом, с хорошей точностью получается¹³

(6.6)

Аналогичные выражения можно получить и для дырочного полупроводника. На рис. 6.2 схематично показаны плотность состояний N_c, функция распределенияf(E)и произведение этих величиндля невырожденного и вырожденного полупроводников.

Физические процессы в p-n переходах. Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Министерство образования РФ

ВлГУ

Кафедра КТРЭС

Лабораторная работа№1

Физические процессы в p-n переходах

Выполнил:

студент гр. РЭ-100

Проверил:

Владимир, 2002

1. Вопрос №7

Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний” определяется в зоне проводимости и в валентной зоне. В зоне проводимости эффективная плотность состояний определяется формулой:

где N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости;

m_n – эффективная масса электрона;

q – элементарный заряд;

φ_{t– температурный потенциал;}

h – постоянная Планка;

m – масса свободного электрона;

T – термодинамическая температура.

Из формулы (1) следует, что эффективная плотность состояний в зоне проводимости представляет собой максимально возможную концентрацию электронов в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии дна зоны проводимости. По физическому смыслу величина N

Cблизка к плотности энергитических уровней в зоне проводимости в полосе энергий от φ_с до φ_с+φ_t (где φ_с – энергия дна зоны проводимости, φ_t – температурный потенциал).

В валентной зоне эффективная плотность состояний определяется формулой:

где N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне;

m_p – эффективная масса “дырки”;

q – элементарный заряд;

φ_{t– температурный потенциал;}

h – постоянная Планка;

m – масса свободного электрона;

T – термодинамическая температура.

Из формулы (2) следует, что эффективная плотность состояний в валентной зоне представляет собой максимально возможную концентрацию “дырок” в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии потолка валентной зоны.

По физическому смыслу величина N_Vблизка к плотности энергитических уровней в валентной зоне в полосе энергий от φ_v до φ_v-φ_t (где φ_v – энергия потолка валентной зоны, φ_t – температурный потенциал).

2. Задача № 7

Условие:

Используя распределение Ферми-Дирака для примесного полупроводника

где N_dn – концентрация нейтральных атомов донорной примеси; E_{d– энергия донорного уровня, определить относительную долю ионизированных атомов фосфора с энергией активации Ec-Ed=0.044 эВ при температурах 50, 100, 300 К.}

Решение:

Относительная доля ионизированных атомов фосфора определяется распределением Ферми-Дирака:

где N_{dn– концентрация нейтральных атомов донорной примеси;}

N_{d– концентрация ионизированных атомов донорной примеси;}

E_c-E_d – энергиея активации;

k – коэффициент Больцмана;

T – термодинамическая температура.

При температуре, равной 300 К, уровень Ферми размещается в середине примесной зоны, поэтому разность между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми равна половине энергии активации:

Относительная доля ионизированных атомов фосфора при температуре – 300 К, равна:

При более низких температурах (T=50 К; T=100 К) уровень Ферми располагается несколько ближе к дну зоны проводимости и дальше  от донорного уровня, т.к. энергия электронов прямо пропорциональна kT, и им необходимо затратить большую энергию для достижения энергии уровня Ферми. Разность  между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми изменяется не значительно, поэтому берётся такое же значение энергии активации как при температуре 300 К для 100 К:

, для 50 К:

Ответ: для значений температур T=300 К, T=100 К и T=50 К полученны соответственно следующие результаты относительной доли ионизированных атомов фосфора: 0. 459, 0.13, 0.1.

3.3.5 Эффективная плотность состояний

3.3.5 Эффективная плотность состояний
Далее: 3.4 Мобильность оператора связи Up: 3.3 Ленточная структура Предыдущий: 3.3.4 Эффективная масса носителя
Эффективная плотность состояний (DOS) в зоне проводимости и валентной зоне выражаются следующими теоретическими выражениями [86]:

			(3.91)
			(3.92)

представляет собой количество эквивалентных минимумов энергии в зоне проводимости.

Таблица 3.19: Значения параметров для минимумов энергии в модели DOS

Материал Материал Si 6 ИнАс 1 Ге 4 ИнП 1 GaAs 1 ГаП 3 АлАс 3

Для альтернативной модели, основанной на данных после Зеленый [120] реализован, который основан на полиномиальной подгонке второго порядка.

(3.93)

Таблица 3.20: Значения параметров для моделирования эффективных масс водителей

Материал [см] [см] [см] [см] [см] [см] Si -0.14e19 1.56e19 1.44e19 -0.17e19 0.93e19 2.34e19

В модели для материалов сплава используются эффективные несущие массы компонентов . в выражениях (3.91) и (3.92).

В случае перехода между прямой и непрямой запрещенной зоной в III-V тройных соединений фактор долинного вырождения моделируется выражение, эквивалентное предложенному в [157].

(3.94)

Верхние индексы и обозначают прямое и косвенное соответственно.

В случае SiGe расщепление долинного вырождения из-за деформация моделируется соответственно, как в [158].

(3,95)

Здесь обозначает разность энергий между долинами, сдвинутыми вниз и вверх по энергии соответственно. Оно установлено равным 0,6 эВ, как указано в [158].

---

Далее: 3.4 Мобильность оператора связи Up: 3.3 Ленточная структура Предыдущий: 3.3.4 Эффективная масса носителя

Васил Паланковски
28 февраля 2001 г.

Общие свойства кремния | ПВЕОбучение

Собственность	Значение
Атомная плотность	5 x 10 22 см -3 5 x 10 28 м -3
Атомный вес	28.09
Плотность (ρ)	2,328 г см -3 2328 кг м -3
Ширина запрещенной зоны (E G )	1,1242 эВ
Концентрация внутреннего носителя (n и ) при 300K*	1 x 10 10 см -3 1 x 10 16 м -3
Концентрация внутреннего носителя (n i ) при 25°C*	8,6 x 10 9 см -3 8,6 x 10 15 м -3
Постоянная решетки	0,543095 нм
Точка плавления	1415 °С
Теплопроводность	1,5 Вт·см -1 K -1 150 Вт·м -1 K -1
Коэффициент теплового расширения	2,6 x 10 -6 К -1
Эффективная плотность состояний в зоне проводимости (N C )	3 x 10 19 см -3 3 x 10 25 м -3
Эффективная плотность состояний в валентной зоне (N V )	1 x 10 19 см -3 1 x 10 25 м -3
Относительная диэлектрическая проницаемость (ε r )	11,7
Электронное сродство	4,05 эВ
Коэффициент электронной диффузии (D e )	кТл/кв мкм e
Коэффициент диффузии отверстия (D h )	кТ/кв мкм ч

* обновленные значения приведены в 1 2.

Свойства кремния в зависимости от легирования (300 K)

Подвижность носителей зависит от типа носителей и уровня легирования. Значения, рассчитанные здесь, используют ту же формулу, что и PC1D, чтобы соответствовать значениям, приведенным в 3 и 45 6. Срок службы как функция легирования дается на объемном сроке службы.

• 1. A.B. Sproul, Green, M.A., y Zhao, J., «Улучшенное значение концентрации собственных носителей кремния при 300 K», Applied Physics Letters, vol. 57, с. 255, 1990.
• 2. A.B. Sprouly Green, M.A., «Улучшенное значение концентрации собственных носителей кремния от 275 до 375 K», Journal of Applied Physics, vol. 70, стр. 846-854, 1991.
• 3. CH Wang, Misiakos, K., y Neugroschel, A., «Параметры транспортировки неосновных носителей в кремнии n-типа», IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 37, стр. 1314 – 1322, 1990.
• 4. Тербер В.Р., Мэттис Р.Л., Лю Ю.М., Филлибен Дж.Дж., «Взаимосвязь удельного сопротивления и плотности легирующей примеси для кремния, легированного бором», Журнал Электрохимического общества, том.